Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної академії наук України

Математичне відділення


ВІДДІЛ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Завідувач відділом доктор фіз.-мат. наук, чл.-корр. НАНУ Щербина  Марія Володимирівна

тел: +(38)-057-341-08-23
факс: +(38)-057-340-33-70
E-mail:

Відділ математичної фізики був створений у 1960р. З моменту заснування і до 2002 р. відділ очолював професор В.О.Марченко. З 2002 по 2016 роки  - доктор фіз.-мат. наук Котляров В.П. У різні роки у відділі працювали: В.Г.Дринфельд, Л.А.Пастур, Є.Я.Хруслов, Ф.С.Рофе – Бекетов, В.Я.Голодець, В.О.Щербина, Г.М.Гестрін, Д.Ш.Лундіна, А.С.Сохін, В.О.Козел, Р.М.Давидов, Л.Л.Ваксман, С.В.Нешвеєв, Д.Л.Шкляров, К.С.Мединець, М.О.Кудрявцев, О.О.Берштейн, О.О.Мінаков.  З 2016 року відділом завідує М.В. Щербина.

Склад відділу:

головн.науковий. співр. В.О. Марченко д.ф.-м. наук ,   професор, академік
НАН України
головн.науковий. співр. В.П. Котляров д.ф.-м. наук,   професор 
пров. науковий. співр. A.А. Звягін д.ф.-м. наук,  професор  
пров. науковий. співр. Ю.О. Фрейман д.ф.-м. наук    
пров. науковий. співр. И.Є. Єгорова д.ф.-м. наук      
пров. науковий. співр. Д.Г.  Шепельський д.ф.-м. наук    
науковий. співр. М.С. Філіпковська к.ф.-м. наук    
науковий. співр. О.О. Гукалов к.ф.-м. наук  
науковий. співр. В.В. Венгеровський к.ф.-м. наук  

Основні напрямки досліджень відділу (в даний час):

  • прямі і обернені задачі теорії розсіяння і спектрального аналізу;
  • задачі Рімана - Гільберта і нелінійні цілком інтегровані рівняння;
  • теорія випадкових матриць, в тому числі бета-матричні моделі, унітарні матричні моделі, ансамблі стрічкових випадкових матриць, ансамблі розбавлених випадкових матриць і випадкових графів;
  • спектральна теорія диференціальних та скінченно-різницевих операторів з випадковими і майже періодичними коефіцієнтами, у тому числі обернені задачі теорії розсіяння для таких операторів;
  • теорія інтегрованих нелінійних диференційних та скінченно-різницевих рівнянь, застосування прямої та оберненої задачі спектральної теорії в теорії інтегрованих систем, асимптотичний аналіз за великим часом нелінійних інтегрованих систем;
  • точно та асимптотично-точно розв'язувані моделі взаємодіючих систем великих розмірів ( у тому числі невпорядкованих), теорія фазових перетворень для таких моделей та методи вивчення їх фізичних характеристик.
  • Метод оберненої задачі розсіювання та асимптотики розв’язків нелінійних інтегрованих піконних рівнянь (рівняння Камаси-Хольма, Дегасперіса-Прочесі та ін.)
  • Формалізм задачі Рімана-Гільберта для нелокальних нелінійних інтегрованих рівнянь
  • Застосування методів оберненої задачі розсіяння у теорії оптичних комунікацій
  • Теорія квантових багаточасткових низьковимірних моделей, що інтегруються, фізики конденсованого стану.
  • Квантова теорія магнетизму та корельованих систем.
  • Теорія квантових комп'ютерів.

Співробітниками відділу отримані результати, що одержали широке міжнародне визнання:

  • вичерпно досліджені обернена задача розсіяння і обернена задача спектрального аналізу для рівняння Шредінгера з періодичним потенціалом;
  • розроблено метод розв'язання широкого класу задач дифракції електромагнітних хвиль на періодичних структурах, який знайшов широке застосування при розрахунках радіотехнічних систем;
  • побудовано теорію усереднення задач математичної фізики в областях складної мікроструктури;
  • побудовані скінченно - зонні майже періодичні розв’язки нелінійних рівнянь Шредінгера, sine - Gordon та ізотропного магнетика Гейзенберга;
  • розвинено новий підхід до конструктивного розв’язання обернених задач спектрального аналізу для диференціальних операторів з неспадними коефіцієнтами та його застосування для побудови нових класів розв’язків нелінійних еволюційних рівнянь;
  • побудована теорія розпаду розв’язків типу сходинки нелінійних інтегрованих рівнянь на асимптотичні солітони;
  • надано узагальнення методу задачі Рімана - Гільберта для нелінійних рівнянь з початковими даними типу сходинки на всій осі і з періодичними граничними умовами на півосі; зокрема побудовано алгоритм розв’язання змішаної задачі для нелінійних рівнянь Максвелла - Блоха;
  • розроблено метод асимптотичного аналізу задач Рімана - Гільберта і асимптотичної поведінки відповідних розв’язків нелінійних рівнянь;
  • побудована теорія квантових груп; надано її застосування до проблем квантової теорії поля і геометрії;
  • відкрито новий напрям досліджень у галузі алгебраїчної теорії чисел, D- модулів і конформної теорії поля;
  • розвинена теорія цілком інтегровних диференціальних рівнянь, пов'язаних з афінними алгебрами Лі;
  • побудована теорія груп Пуассона - Лі і розроблено класифікацію розв’язків класичного рівняння Янга - Бакстера;
  • побудована теорія коциклів динамічних систем та їх застосувань до класифікації різних групових дій на просторі з мірою;
  • отримано повний опис аперіодичних підстановочних систем в термінах діаграм Браттелі; для таких систем описані всі інваріантні ергодичні імовірнісні міри;
  • для широкого класу зчислених аменабельних груп побудовані небернуліївські дії з цілком позитивною ентропією, з використанням коіндукованих дій;
  • досліджено структуру алгебр Неймана та їх автоморфізмів; знайдено застосування цієї теорії до вивчення некомутативної ентропії в моделях статистичної фізики;
  • отримано класифікація допустимих зображень нескінченновимірних аналогів класичних матричних груп;
  • на нескінченній симетричній групі знайдено повний список КМШ - станів, інваріантних відносно підгруп Юнга;
  • побудовані квантові огортуючі алгебри з ідемпотентами, що містять Uq(sl2);
  • надано повний список структур-Uq(sl2) модульної алгебри на квантовій площині.
  • Для ансамблів матричних бета-моделей доведено гіпотезу універсальності локального розподілу власних значень, яка була сформульована Дайсаном у 60-ті роки.
  • Розроблено новий метод доведення центральної граничної теореми для лінійних статистик власних значень ансамблів випадкових матриць великих розмірів.
  • Побудовано теорію розсіювання для диференційних та різницевих операторів із асимптотично скінченнозонними коефіцієнтами типу сходинки; проінтегровано нелінійні рівняння, що відповідають цим операторам.
  • Розроблено метод оберненої задачі розсіювання та отримані асимптотики за великим часом розв’язків початкових та початково-крайових задач для рівняння Камаси-Хольма та інших нелінійних інтегровних піконних рівнянь (рівняння Дегасперіса-Прочесі, Вахненка-Островського та ін.)
  • Розроблено теорію нових класів моделей, що інтегруються, квантових багаточастинкових спінових та сильно корельованих електронних систем - класу багатоланцюжкових моделей та класу моделей з кінцевою концентрацією магнітних домішок.
  • Розроблено теорію статичних характеристик (теплоємність, магніта та зарядова сприйнятливість, персистентні струми і т.ін.) на основі точних квантових рішень для квантових моделей сильно корельованих електронних та спінових систем (у тому числі й на геометрично фрустрованих гратках). Конформна теорія поля для асимптотик поведінки різноманітних кореляційних функцій таких систем.
  • Розроблено точну квантову теорію динамічних характеристик багаточасткових квантових систем типу квантових спінових рідин (спінові одно- та двовимірні моделі, моделі корельованих ферміонів), як результат відгуку на змінне періодичне зовнішне поле та на миттєви зміни параметрів систем(як на імпульси поля).
  • Розроблено теорію точних характеристик систем кубітів, важливих для квантових комп'ютерів (зокрема для топологічних квантових комп'ютерів).
  • Розроблено теорії, які пояснюють особливості низькотемпературних експериментів (теплоємність, намагніченість, сприйнятливість, електронний та ядерний магнітні резонанси, мюонне спінове обертання, ефект Мессбауера, магнітоакустичні та оптичні експерименти і т.ін.) на мультифероїках, фрустованих магнетиках (включаючи речовини типу спінового льоду), низьковимірних магнетиках, молекулярних магнетиках, рідкісноземельних та уранових сполуках, важкоферміонних системах, системах надохолоджених атомів на оптичних гратках, молекулярних агрегатах і ін.

Результати наукової діяльності колективу відділу знайшли відображення в монографіях :

  1. З.С. Агранович, В.А.Марченко Обратная задача теории рассеяния. Харков: ХГУ, 1960; Перевод (англ): Inverse Problem of the Scattering Theory. Gordon and Breach (1963), 290 p.
  2. В.А. Марченко Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук.Думка, 1972.
  3. В.А. Марченко, Е.Я.Хруслов Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наук.Думка, 1974.
  4. В.А. Марченко Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук.Думка, 1977. Перевод (англ): Storm–Liouville Operators and their Applications. Birkhauser Verlag (1986), 367 p.
  5. Л.Л. Ваксман, M.С.Лифшиц Несамосопряженные коммутирующие операторы в Гильбертовом пространстве. Berlin: Springer, Lecture Notes in Mathematics, 1987 (англ.)
  6. В.А. Марченко Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киев: Наук.Думка, 1986. Перевод (англ): Nonlinear Equations and Operator Algebras. D. Reidel, Dordrecht (1987), 157 p.
  7. Ф.С. Рофе-Бекетов, А.М.Холькин Спектральный анализ дифференциальных операторов. Связь спектральных и осцилляционных свойств, Мариуполь, ПГТУ, 2001, 332 с.
  8. В.А. Марченко, Е.Я.Хруслов Усредненные модели микронеоднородных сред. Киев: Наук.Думка, 2005.
  9. В.А. Марченко. Ведение в теорию обратных задач спектрального анализа. Acta, Харьков, 2005.
  10. Rofe-Beketov F.S. and Kholkin A.M. Spectral analysis of differential operators. Interplay between spectral and oscillatory properties. WSPC, Singapore, 2005, 461 pp.
  11. В.А. Марченко, Е.Я.Хруслов Homogenization of Partial Differential Equations. Progress in Mathematical Physics, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA (2006). 398 pp.
  12. L. L. Vaksman Quantum bounded symmetric domains, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence, RI, V. 238, 2010, xii+256 pp.
  13. В.А. Марченко Sturm–Liouville Operators and Their Applications: Revised Edition. AMS (2011), 393 pp.
  14. L. Pastur, M. Shcherbina. Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices. Mathematical Survives and Monographs, V171, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island (2011)
  15. A.A. Zvyagin, Finite Size Effects in Correlated Electron Models: Exact Results, Imperial College Press, London, and World Scientific, Singapore, (2005) ISBN 978-1-86094-503-8; 978-1-78326-047-8 (ebook)
  16. A.A. Zvyagin, Finite Size Effects in Correlated Electron Models: Exact Results, Peking University Press, Beijing (Peking), (2012) ISBN 978-7-301-21554-8
  17. A.A. Zvyagin, Quantum Theory of One-Dimensional Spin Systems, Cambridge Scientific Publishers, Cambridge, (2010) ISBN 978-1-904868-85-9

Праці співробітників відділу відзначені:

Ленінською премією

(В.О. Марченко, 1962),

Премією Академії наук СРСР (В.Г. Дринфельд, 1988)

Філдсовської медаллю

(В.Г. Дринфельд, 1990)

Державною премією України

(В.О. Марченко, 1989), (С.І. Безуглий 2010)

(А.А. Звягін, 2015)
(М.В. Щербина, 2018)

Золотою медаллю імені В.І. Вернадського НАН України

(В.О. Марченко, 2010)

Золотою медаллю і премією Товариства ім. Т. Шевченка в Україні та Фонду «Україна - США » для молодих математиків

(О.А. Берштейн, 2011), (О.М. Карпель, 2013)

Премією ім. М.М.Крилова АН України         

(В.О. Марченко, 1982), (В.П. Котляров, 1996)

Премією ім. М.М.Боголюбова НАН України

(В.О. Марченко, 1996)

Премією ім. М.А.Лаврентьєва НАН України

(В.О. Марченко, 2007)

Премією ім. М.В.Остроградського НАН України

(Ф.С. Рофе - Бекетов, 2007), (М.В. Щербина, 2009), (В.П. Котляров, Д.Г. Шепельский, 2011)

Премією НАН України для молодих вчених за кращі наукові роботи

(В.М. Кулагін, 2006), (К.С. Мединець, 2006), (О.А. Берштейн, 2010)

Премією імені С.І. Пекаря НАН України    (А.А. Звягін, 2010)
Премією імені Ю.О. Митропольського НАН України    (І.Є. Єгорова, 2013)

Міжнародне співробітництво: Université Paris-7 D.Diderot, France; University of Torun, Poland; Trondheim University, Norway; University of New South Wales, Australia; University of Ottawa, Canada; University of Copenhagen, Denmark; E. Schrödinger Institute, Vienna, Austria; University of Leipzig, Germany; University of Maryland, USA; Uppsala University, Sweden.

Співробітники відділу беруть участь у міжнародних наукових проектах, таких як довгостроковий IFS проект, проекти INTAS Європейського Співтовариства, CRDF та НТЦУ